Биквадратные уравнения

Светлана ШАКИРОВА,

учитель математики

первой квалификационной категории

гимназии им. М.М. Вахитова г. Буинска

Цель урока: изучить и закрепить способ решения биквадратных уравнений.

Задачи

Образовательные (формирование познавательных УУД): научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «целое уравнение с одной переменной», «корень уравнения», «биквадратное уравнение», «алгоритм решения биквадратного уравнения», «методы решения уравнений».

Воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

– умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в пару со сверстником и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

Развивающие (формирование регулятивных УУД):

• умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.
  • • • • деятельности учащихся на уроке: самостоятельно выходят на проблему и решают ее; самостоятельно определяют тему, цели урока; выводят определение биквадратного уравнения, алгоритм решения биквадратного уравнения; отвечают на вопросы; работа в парах; решают самостоятельно задачи; оценивают результаты своей деятельности на уроке.

Необходимое оборудование: компьютер, проектор, учебники по математике, карточки с домашним заданием, электронная презентация, выполненная в программе Power Point.

Базовый учебник: Алгебра, учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского, Москва, «Просвещение».

Тип урока: урок открытия новых знаний.

• и ход урока

1. . Организационный этап

• приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку.
• ученый Л.Н. Толстой утверждал: «Ум человека только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил». (слайд № 1)
• ь. Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Ребята, у вас на столах есть листы самооценки. Прошу вас ставить себе «+» за правильные ответы.

2. . Вводная беседа. Актуализация знаний

1. Устный фронтальный опрос: (слайд № 2)

• Чем занимались мы на предыдущих уроках? (Решали уравнения.) Что значит решить уравнение? (Найти все корни или доказать, что их нет.) Какие уравнения мы решали? (Линейные, квадратные.) Какие уравнения называются целыми? (Обе части являются целыми.)

– Ребята, те, кто правильно ответил на вопросы, поставьте себе «+».

2. Устная работа: (слайд № 3)

Учитель. Выберите те уравнения, которые являются целыми:

1. х³ - х² = 0                                            6) 5х4 – 5х² +2 = 0
2. х³ - 4х² - 9х + 36 = 0                          7) х4 – 3х³ = 0
3. х³ - 4х = 2                                            8) х4 – 5х² + 4 = 0
4. 2х4 – 5х² -12 = 0                       9) (х+2)² +3(х+2) = 4
5. х² - 5х = 0

• Как можно решить каждое из уравнений?
• В чем заключается способ замены переменной? Давайте разберем уравнение под номером 9 на доске.

– Ребята, не забудьте поставить «+» в листах самооценки.

3. Решение уравнения на доске методом замены переменной:
   1. 2. +3(х+2) = 4

• • • Какие из уравнений вы не умеете решать?

Уравнения № 4, 6, 8 не получается решить, т. к. не знаем способа решений таких уравнений, у нас недостаточно знаний.

– На какое уравнение похоже? (Квадратное.)

Но у нас 4 степень… давайте выделим квадрат.

(х²)² – 5(х²) + 4 = 0

• двойной квадрат.
• Познакомимся со справкой из Википедии. (слайд № 4)
• Харченко или биквадрат Харченко (радиолюбительский жаргон) — конструкционный вариант проектирования антенн на основе двух ромбов предложен в 1961 году инженером Константином Харченко на страницах журнала «Радио».
• пользуется большой популярностью у радиолюбителей благодаря простоте конструкции, хорошей повторяемости и широкополосности.
• пределах диапазона частот, на который рассчитана антенна, она имеет постоянные параметры и практически не требует настройки.
• представляет собой синфазную антенную решетку из двух ромбовидных элементов, расположенных в одной плоскости, имеющих общую пару точек питания. Рабочая поляризация антенны определяется взаимным положением элементов: друг над другом — горизонтальная, сбоку друг от друга – вертикальная.
• Тогда наше уравнение, «похожее» на квадратное, как можно назвать? (Биквадратное.) Как вы могли бы сформулировать тему урока? Чем мы будем заниматься на уроке? (Научиться решать биквадратные уравнения. Биквадратные уравнения.) (слайд № 5)

3. . Построение проекта выхода из затруднения

1. Работа над выработкой алгоритма решения биквадратного уравнения

• решить уравнение:
• 4 – 5х² + 4 = 0

Это уравнение можно записать в виде (х²)² – 5(х²) + 4 = 0

• Давайте рассмотрим это уравнение. Каков его общий вид?
• ах4 – bх² + c = 0)
• Что представляет собой левая часть уравнения?
• Чему могут быть равны коэффициенты? Может ли коэффициент перед  х⁴ равняться нулю? Почему? (Любое число, «а» не равен 0. Уравнение останется не полным квадратным.)
• Чему равна правая часть уравнения? (0)
• Какие уравнения они вам напоминают? (Квадратные.)
• В чем отличие? (Степень.)
• Давайте попробуем вывести определение биквадратного уравнения. (Определение.)

4. . Реализация построенного проекта

• уравнений на доске (метод «Размышление вслух»).
• Ребята, ваша задача при решении уравнения громко проговаривать то, о чем вы думаете и как вы решаете, какие действия выполняете при решении.
• алгоритмом, решите уравнения № 4 и № 6 из устной работы, вызвавшие затруднения. (слайд № 6)

2. ученика приглашаются по очереди к доске, решают на доске уравнение с полным комментированием.)
4. 2х4 – 5х² – 12 = 0
6. 5х4 – 5х² + 2 = 0

• Проведем анализ решенных уравнений.
• уравнение – это уравнение 4 степени. Сколько корней может оно иметь? (4 корня, 2 корня и не имеет корней.)
• Примеры, что уравнение имеет 4 корня, 2 корня и не имеет корней, нам встретились. Как вы думаете, может ли биквадратное уравнение иметь 1 корень? 3 корня?
• Верно, если эти уравнения неполные. Приведите пример биквадратного уравнения, имеющего 1 корень (ах4= 0).
• к полному биквадратному уравнению. Решив предложенные уравнения, выясните, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.
• каждого уравнения частично выносится на доску, а именно значение дискриминанта, значение введенной переменной и количество корней, т. е.
•  количество корней уравнения
• забываем отмечать результат работы в оценочных листах.
• составим алгоритм решения такого вида уравнений. У вас на столах есть карточки (приложение № 2), где прописаны действия решения биквадратного уравнения. Из этих действий вам нужно составить алгоритм решения биквадратного уравнения. (слайд № 7)
• Составить уравнение с новой переменной.
• Решить новое уравнение.
• Ввести замену переменной.
• Решить получившиеся уравнения.
• Записать ответ.
• Вернуться к замене переменной (обратная перестановка).

• теперь проверим ваши ответы.
  • • решения биквадратного уравнения на слайде № 8.

1. 1. 1. Ввести замену переменной.
      2. Составить уравнение с новой переменной.
      3. Решить новое уравнение.
      4. Вернуться к замене переменной (обратная перестановка).
      5. Решить получившиеся уравнения.
      6. Записать ответ.

• • • Молодцы, ребята! Вы хорошо справились с заданием, не забудьте поставить «+» на оценочных листах.

5. . Первичное закрепление

• с учебником. (слайд № 9)
• № 278 (первый ряд – а, б; второй ряд – в, г; третий – д, е.). С каждого ряда одновременно по одному учащемуся работают у доски.
• Ребята, за верно выполненные задания не забываем ставить «+»
•  
• Ребята, давайте закрепим полученные знания. Я буду говорить утверждения. При верно сказанном утверждении встаем, при неверном – сидим на местах. Слушаем внимательно.

1. Биквадратное уравнение – это уравнение с двумя переменными (нет).
2. Биквадратное уравнение может не иметь или иметь 1, 2, 4 корня (да).
3. Квадрат любого числа всегда положительное число (да).
4. Если одна часть уравнения является целым выражением, то уравнение называется целым (нет).
5. При решении квадратного уравнения нужно сразу найти дискриминант (нет).

• Спасибо большое, ребята! Вы хорошо справились и с этим заданием.

6. . Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (Работа в парах.)

• столах у учащихся по 1 ноутбуку. Выполняются задания на ноутбуках из библиотеки Моя Школа https://uchebnik.mos.ru/material/285705 в парах, выполняя самопроверку.

6. • • верных ответах ставим в оценочных листах «+».
7. . Рефлексия учебной деятельности на уроке

• Наш урок подходит к концу. В течение урока вы хорошо работали. Оцените себя в листах самооценки (приложение 1), которые лежат у вас на партах. Сосчитайте количество правильных ответов («+»). Поставьте себе оценку в соответствии с критериями.

2. – 3 «+» – оценка «3»
4. – 5 «+» – оценка «4»

• 5 «+» – оценка «5»
  • • • Поднимите руку, кто получил «5», кто получил «4», кто получил «3».
    • выставляет оценки за работу на уроке, комментируя отметки.)
• № 10)
• С каким видом уравнений мы познакомились?
• Какой общий вид они имеют?
• Каким методом решаются? Перечислите основные этапы этого метода.
  • • Сколько корней может иметь полное биквадратное уравнение? От чего это зависит?

8. . Информирование учащихся о домашнем задании (слайд № 11)

1. Решите уравнения по ссылке в электронном дневнике. https://uchebnik.mos.ru/material/285705

• 2 (дополнительное задание для желающих)
• Подумайте, как можно решить следующее уравнение, и решите его:
•  х6 + 5х³ - 6 = 0.
• Приведите пример биквадратного уравнения, имеющего 3 корня
• х4 + bх2=0)

Приложение № 1

Приложение № 2

• Составить уравнение с новой переменной.
• Решить новое уравнение.
• Ввести замену переменной.
• Решить получившиеся уравнения.
• Записать ответ.
• Вернуться к замене переменной (обратная перестановка).